下文摘自图灵新知《不可思议的数》,[遇见]已获授权.

各种不可思议的数各种不可思议的故事

1、2、3、4、5、6、7……还能有什么比这更简单的吗？然而这就是数，它们可能是最重要的东西，是它们让人类摆脱愚昧、步入文明。

每个数有着属于自己的特点，并且通向数学的各个领域。不过，在逐个研究它们之前，有三大问题值得我们快速地讨论一番：数字是怎么产生的？数的概念是如何发展的？还有，什么是数？

数字的起源

在大约年以前的旧石器时代晚期，某个人在一根狒狒的腓骨上刻下了29道刻痕。这根骨头是在位于斯威士兰的列朋波山脉的山洞里发现的，被命名为“列朋波骨”。人们认为它是一根符木，所谓符木就是一种用一连串刻痕记录数字的东西，这些刻痕就像

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、

这样。一个朔望月有29.5天，因此这有可能是一种原始的阴历——当然，也可能是女性的月经记录。说实在的，它还可能只是一些随机的刻痕，在骨头上的涂鸦。

年，卡尔·阿布索隆在捷克斯洛伐克发现了另一根有55道刻痕的狼骨符木。它距今大约有年。

年，比利时地质学家让·德·海因策林·德·布罗古在一处因火山喷发而被掩埋的小渔村里，又发现了一根有刻痕的狒狒腓骨。那个地方如今被称为伊尚戈，位于乌干达和刚果（金）的交界处。这根腓骨距今大约有年（图1）。

对伊尚戈骨最简单的解读认为，它就是一块符木。一些人类学家从中进一步发现了一些算术内容，例如乘法、除法及质数；另一些专家则认为它是一份6个月的阴历；还有一些专家则坚称，这些刻痕只不过是为了让它更好地成为骨器手柄。

图1伊尚戈骨的正面和反面（比利时布鲁塞尔国家自然科学博物馆藏）

这根骨头真的很奇妙，它上面有三段刻痕。中间那段刻痕用到了数字3、6、4、8、10、5、7。3的2倍是6，4的2倍是8，5的2倍是10——不过最后一组数字的顺序颠倒了，而数字7则完全没有遵从上述规律。左侧刻痕的数是11、13、17、19，它们是10到20之间的质数。右侧的数是奇数11、21、19、9。左侧和右侧的数列之和都等于60。

想要解释其中蕴含的规律并不容易，因为在任何短小的数列里寻找规律都是很困难的。例如，表1列出了隶属巴哈马的10座岛的面积。原表格将巴哈马的全部岛按照面积大小排列，这些岛位列第11位至第20位。我打乱了这10座岛的原有顺序，将它们以字母顺序排列。我可以保证，这是我第一次做这样的尝试。诚然，如果这个例子不能说明我的观点，我可以再换一个例子——但既然行得通，我就没换。

你从这些数字“图案”里注意到什么了吗？它们包含了许多具有共同特征的短小序列（图2）。

首先，整个数列呈现出一种美丽的对称性：两端各3个数组成一组，它们都是3的倍数；中间一对数是10的倍数，并把两个7的倍数隔开了。另外，数列里有两个平方数，分别是9=32和49=72，同时，这两个数还都是质数的平方。还有一对相邻数15和30，一个是另一个的2倍。对序列9,93,49而言，它们都含有数码9。除了数列,80,14以外，所有数都是一大一小地交替出现的。对了！你有没有发现，在这10个数里没有一个是质数。

说得够清楚了。伊尚戈骨的另一个问题是，人们根本不可能找到额外的证据来支持任何特定的解释。但它的刻痕真的非常奇妙，到处都是数字谜题。这一点是不争的事实。

一万年前，生活在近东地区的人类利用黏土块上的符号记录数，这些符号作为凭证，可能被用来征税或证明所有权。最早的例证是在伊朗扎格罗斯山脉的阿西阿布山区和甘兹达列赫山区发现的。它们是一些形状各异的黏土块，有的上面有符号标记。一个带“+”的黏土球代表1只绵羊，7个这样的球代表7只绵羊。为简单起见，人们会用其他形状的符号代表10只绵羊，再用另一种形状的符号代表10只山羊，以此类推。考古学家丹妮丝·施曼特–贝塞雷特推测，各种符号代表了当时的基本物品：谷物、动物，还有油。

公元前年，人们像串项链一样用绳子把黏土块串在一起。但是，添加或取走黏土块可以轻而易举地改变数值，因此，人们引入了一种保障措施。他们把黏土块裹在黏土里，然后再把这黏土壳烘干。事后，只要打破陶土壳，就能知道里面作为凭证的小黏土块有多少（图3）。从公元前年开始，为了避免不必要的损坏，美索不达米亚的古代官方机构在陶土壳上刻上符号，列出裹在里面的凭证数量。

后来，某个聪明人突然意识到，既然有这些符号，陶土壳里面的黏土块就变得有些多余了。于是，书面数字符号系统产生了。这是后来所有记数法的源头，数字书写本身可能也源于此。

图3乌鲁克文化的陶土壳和作为会计凭证的黏土块（出土自苏萨城）

本书并不是一本历史著作，我将在后面探讨某些特定数时，再讲述相关的记数系统。例如，我会在第10章讨论古代和当代的十进制记数法。不过，正如伟大的数学家高斯曾经说过的，重要的是概念，而不是记数法。因此，本书后续章节讲述的是人类不断变化的数（字）的概念，这样会更有意义。因此，我将从快速介绍主要的数系和一些重要术语开始。

人们倾向于认为，数（字）是一成不变的——它是自然世界的一种属性。事实上，数（字）是人类的发明，而且是特别有用的发明，因为它们描绘了大自然的一些重要方面。比如说，你有多少只羊，或者宇宙的年龄有多大。大自然通过不断地抛出新问题，让人类一次又一次地惊诧不已。这些问题的答案有时需要新的数学概念。数学自身偶尔也需要一些有用的新结构。这些问题和需求迫使数学家们时不时地构造出新类型的数，从而扩展了数系。我们已经看到，数是如何作为一种计数方法而诞生的。在古希腊早期，数是从2、3、4开始的。1很特别，它不是一个“真正的”数。后来，人们发现这种规定其实很愚蠢，这才把1也当作数。接着，分数的引进大踏步地扩充了数系。如果要在一些人中分配东西，分数就会非常有用。如果有3个人要平分2蒲式耳[1]的谷物，那么每人可以分到蒲式耳。[1]蒲式耳是一种谷物或油料的定量单位，在英国约等于36升。——译者注?图4左：古埃及象形文字里的和；中：瓦吉特之眼；右：源于瓦吉特之眼的分数象形文字古埃及人用三种不同的方法表示分数。他们用特别的象形文字表示和。他们还用“荷鲁斯之眼”或“瓦吉特之眼”的各个部分来表示1除以2的前6次方（图4）。最后，古埃及人还发明了一套符号用来表示单位分数，即“1除以某数”的形式，如、、、等。他们用不同的单位分数之X和来表示其他分数，例如，。人们并不清楚古埃及人为什么不把写成，但他们就是没这样写。数出现得很晚，可能是因为当时几乎用不到它。如果你没有羊，那就没有必要去数或者表示它。最初，是作为符号被引进的，人们当时并没有认为也可以当数用。然而，古代中国和古印度数学家在引进负数时（见第-1章），就不得不被当作数字看待了。例如，，两个数之和毫无疑问也应该是一个数。数学家把数称为自然数。加上负整数后，得到整数另外，整数和正、负分数组成有理数。如果一个数大于0，那么它被称为正数；如果一个数小于，那么它就是负数。因此，每个数（无论它是整数还是分数）都属于正数、负数或这三种类别中的一种。用来计数的数都是正数。这个约定使“自然数”这个术语变得有点傻，所谓自然数通常指非负整数。真不好意思……在很长一段时间里，数的概念仅止于分数。但古希腊人证明了任意分数的平方都不可能正好等于2。后来，这一证明被表述为“数不合理”，也就是说，它不合乎道理。古希腊人描述得很烦琐，但他们知道一定是存在的：根据毕达哥拉斯定理，是边长为1的正方形的对角线长度。因此，只用有理数没法对付很多问题，人们需要更多的数。于是，古希腊人发明了一种很复杂的几何方法来处理无理数，但并不能令人完全满意。迈向现代数字概念的下一步，可能要算是小数点和十进制记数法的发明了，人们可以借此高精度地表述无理数。例如，精确到了小数点后位（从这里开始，符号表示“约等于”）。这个表达式并不精确，实际上，约等于号后面的数的平方等于更近似的数是（精确到小数点后位）但它依然不是精确的。不过，可以从严格的逻辑上认为，是可以被长度无限的小数精确表示的。当然，我们不可能完整地写出这样的表达式，但建立这样的概念让它有意义，还是可以做到的。无限小数（如果本来位数是有限的，那么可以在它后面添加无穷多个）被称为实数，这么叫的部分原因是它们与测量大自然的结果相一致，例如长度和重量。测量的精度越高，所需小数的位数也越多；要得到精确值，位数就得无穷多。也许有点讽刺，“真实”是由一个实际上无法写完整的无限符号来表示的。负的实数也是允许的。直到18世纪，再没有其他数学概念被认为是真正的数了。早在15世纪，一些数学家就已经在考虑是否可能存在一种新的数——的平方根，也就是说，乘以自己后等于的数。乍一看，这个想法很疯狂，因为任何实数的平方一定是正数或。然而，下决心为规定一个平方根却被认为是一个好主意。为此，欧拉引进了符号——它是英语、拉丁语、法语和德语中“虚构的”一词（如英语中是imaginary）的首字母，这样命名是为了把它与“老牌”的实数区分开。不过，这导致了神秘主义的泛滥。戈特弗里德·莱布尼茨曾称“介于存在和不存在之间”。但是，他的这种观点掩盖了一个重要的事实。实际上，无论是实数还是虚数，它们的逻辑地位是相同的。这些数都是人类用来给现实世界建模的概念，它们本身都不是真实的。的存在迫使人们引进一些如之类的新数，用于做算术。这些数被称为复数。在接下来的几个世纪里，无论是在数学还是其他学科领域，复数成了不可或缺的数。这个古怪的事实对多数人而言很陌生，因为人们在学校里不会常常接触到复数。这并不是因为它们不重要，而是因为其概念太复杂，而且应用领域太高级。数学家用空心字符来表示主要的数系。虽然我后面不会再用到它们，但读者还是应该见识一下。：所有自然数的集合：所有整数的集合：所有有理数的集合：所有实数的集合：所有复数的集合这些数系就像俄罗斯套娃一样相互嵌套：在这里，集合论符号表示“包含于”。请注意，所有整数都是有理数，如整数就是——尽管我们通常不会这样写，但这两种记法都表示同一个数。类似地，所有有理数都是实数，而所有实数也都是复数。较老的数系并入了较新的数系，而不是被替代。复数并不是数学家们几个世纪以来扩展的数系的终点。例如，还有四元数集和八元数集(见第4章)。不过，它们在代数方面的作用要比在算术中更大。在此，我要用无穷数——一个更矛盾的数来结束本节。从哲学上来说，无穷数和传统的数不一样，它不属于任何标准数系，无论是自然数系还是复数系。尽管如此，它和数系还是有一些关系的，它像数但又不是数。格奥尔格·康托尔在重新考虑最初的问题——计数时，他发现从计数的角度考虑，无穷不但是一个数，而且它们有不同的大小。其中，是所有自然数的数量，而是所有实数的数量——后者更大些，但大多少没什么意义：这取决于人们用什么样的公理系统构建数学。

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不可思议的数介绍了各种各样的数：从常见的自然数0至10到负数，从“简单”的有理数到复杂多变的有理数和无理数；从已知*大的质数到*小的无穷大。每个数都它自己的故事，而围绕着这些数，作者不但讲述了每个数背后的历史，更拓展出众多有趣的数学问题，让这些数成为带读者进入神奇数学世界的“引路人”。

引言　数1第一篇　较小的整数17第1章　不可分割的单位19第2章　奇数和偶数23第3章　三次方程47第4章　平方57第5章　毕达哥拉斯斜边73第6章　吻接数86第7章　第4个质数93第8章　斐波那契立方数第9章　幻方第10章　十进制系统第二篇　零和负数第0章　“没有”是数吗？第-1章　比“没有”还少第三篇　复数第i章　虚数第四篇　有理数第12章　分割不可分割第章　约等于π第章　汉诺塔第五篇　无理数第2章　第一个无理数第π章　圆的测量第φ章　黄金数第e章　自然对数第lg2lg3章　分形第π18章　球体填充第章　音阶第ζ(3)章　阿培里常数第γ章　欧拉常数第六篇　一些特别的小整数第11章　弦理论第12章　五连方第17章　多边形和图案第23章　生日悖论第26章　密码第56章　香肠猜想第章　有限几何第七篇　巨大的数第26!章　阶乘第章　鲁比克魔方第章　数独第2^()-1章　已知最大的质数第八篇　无穷数第0章　阿列夫零：最小的无穷大第C章　连续统基数第九篇　生命、宇宙和……第42章　42，一点都不乏味

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